In [1]:

import numpy as np
import sympy as sp
import sys, os
from Ch7Functions import *
from IPython.display import display, Latex

Les caractéristiques des déterminants¶

PROPOSITION 1 :¶

Soient $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ et $1 \leq p, r \leq n$. Alors $$ \begin{aligned} \operatorname{det} A &=a_{p 1}(-1)^{p+1} \operatorname{det} \hat{A}_{p 1}+a_{p 2}(-1)^{p+2} \operatorname{det} \hat{A}_{p 2}+\cdots+a_{p n}(-1)^{p+n} \operatorname{det} \hat{A}_{p n} \\ &=a_{1 r}(-1)^{r+1} \operatorname{det} \hat{A}_{1 r}+a_{2 r}(-1)^{r+2} \operatorname{det} \hat{A}_{2 r}+\cdots+a_{n r}(-1)^{r+n} \operatorname{det} \hat{A}_{n r} \end{aligned} $$

PROPRIÉTÉS 2 :¶

Soient $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{R}$ et $1 \leq r, s \leq n .$ Alors les affirmations suivantes sont vérifiées.

$\operatorname{det} L_{r s}(\lambda) A=\operatorname{det} A$
$\operatorname{det} T_{r s} A=-\operatorname{det} A$
$\operatorname{det} D_{r}(\lambda) A=\lambda \operatorname{det} A$
$\operatorname{det} A L_{r s}(\lambda)=\operatorname{det} A$
$\operatorname{det} A T_{r s}=-\operatorname{det} A$
$\operatorname{det} A D_{r}(\lambda)=\lambda \operatorname{det} A$.

PROPOSITION 3 :¶

Si $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n \times n}$ ( $\mathbb{R}$ ) est une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure), alors son déterminant est égal au produit de ses coefficients diagonaux, i.e. $$ \operatorname{det} A=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$

PROPOSITION 4 :¶

Soit $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$. Alors $$ \operatorname{det} A^{T}=\operatorname{det} A $$

Opérations des lignes¶

Soit $A$ est une matrice carrée:

Si un multiple d'une ligne de $A$ est ajouté à une autre ligne pour faire la matrice $B$, alors $$ \det B = \det A $$

Si deux lignes de $A$ sont échangées pour faire $B$, alors $$ \det B = -\det A $$

Si une ligne de $A$ est multipliée par $\textit{k}$ pour faire $B$, alors $$ \det B = \textit{k} \cdot \det A $$

Exercice 1¶

Calculez le determinant de la matrice $M$. $$ M = \begin{pmatrix}4 & 6 & -3\\-1 & 2 & 3\\4 & -5 & 1\end{pmatrix} $$

In [2]:

M = sp.Matrix([[4, 6, -3], [-1, 2, 3], [4, -5, 1]])
ch_7_2_ex1(M)

Entrez le determinant de la matrice suivante $\left(\begin{matrix}4 & 6 & -3\\-1 & 2 & 3\\4 & -5 & 1\end{matrix}\right)$.

Avec ce résultat, que valent les déterminants suivants?

$$ \mbox{a)} \hspace{3mm} A = \left( \begin{matrix} 4 & -1 & 4\\ 6 & 2 & -5\\ -3 & 3 & 1\end{matrix}\right) \hspace{20mm} \mbox{b)} \hspace{3mm} B = \left( \begin{matrix} 4 & 6 & -3\\ 7 & 14 & -3\\ 4 & -5 & 1\end{matrix}\right) \hspace{20mm} \mbox{c)} \hspace{3mm} C = \left( \begin{matrix}4 & 6 & -3\\ -4 & 8 & 12\\ -4 & 5 & -1\end{matrix}\right) $$ $$ \mbox{d)} \hspace{3mm} D = \left( \begin{matrix} 4 & 6 & -3\\ -1 & 2 & 3\\ -8 & 10 & -2\end{matrix}\right) \hspace{20mm} \mbox{e)} \hspace{3mm} E = \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 3\\ 4 & 6 & -3\\ 0 & -11 & 4\end{matrix}\right) \hspace{20mm} \mbox{f)} \hspace{3mm} F = \left( \begin{matrix}4 & -5 & 8\\ 6 & 10 & 1\\ -3 & 15 & -2\end{matrix}\right) $$ Executez les cellules suivantes et rentrez vos résultats.

In [3]:

question7_2a()

Entrez le determinant de la matrice suivante: $ \left(\begin{matrix}4 & -1 & 4\\6 & 2 & -5\\-3 & 3 & 1\end{matrix}\right) $.